2.4. Nevezetes ortonormált függvény-rendszerek

1). Periodikus függvények közelítéséhez alkalmazzák a következő függvény-rendszert:

(2.66)

(

2). Első rendű Csebisev-polinomok T_n.

Az első rendű Csebisev-polinomot úgy lehet meghatározni, mint a

(1 – x²) y′′(x) – x y′(x) +n y(x) =0 (2.67)

differenciálegyenlet megoldását, ahol n – egész, pozitív.

A Csebisev-polinomok:

(2.68)

n=1, 2, …

ahol

(2.69)

vagy másként fogalmazva:

(2.70)

és

A T_n(x) n-ed fokú polinomok, amelyeknek a főegyütthatója mindig a_n =2^n–1

A definíció alapján kiszámítjuk az első három polinomokat:

T₀(x) =cos0 = 1 (2.71)

T₁(x)= cosθ =x (2.72)

T₂(x)= cos 2θ = cos²θ – sin²θ = x² – (1 – x²) =2 x² –1 (2.73)

Csebisev-polinomokat egy rekurzív képletet alapján sokkal kényelmesebb kiszámítani. A definíció szerint

T_n+1(x)= cos(nθ +θ) = cos nθ cosθ– sinnθ sinθ (2.74)

T_n-1(x)= cos(nθ –θ) = cos nθ cosθ + sinnθ sinθ (2.75)

összeadva a (2.74),(2.75) képleteket:

T_n+1(x)+ T_n-1(x)= 2cosnθ cosθ =2x T_n(x) (2.76)

a következő rekurzív képletet kapunk:

T_n+1(x) =2x T_n(x) – T_n-1(x), n=2, 3, … (2.77)

Ha n=2 akkor:

T₃(x) =2x T₂(x) – T₁(x)=2x(2x² –1) – x =4 x³ –3 (2.78)

Az első rendű Csebisev-polinomok ortonormálisak.

Megmutassuk, hogy az Első rendű Csebisev-polinomok a [–1, 1] intervallumban ortonormálisak. Mivel

(2.79)

ha m≠n,

(2.80)

ha m=n≠0,

(2.81)

ha m=n=0.

Tegyük x=cosθ, akkor

(2.82)

ha m≠n,

(2.83)

ha m=n≠0,

(2.84)

ha m=n=0.

A (2.82)-(2.84) képletek bizonyítják az Első rendű Csebisev-polinomok ortonolmálisságát.

A t_n(x) polinomokat a Csebisev-polinomok alapján következő képen szerkesztjük.

Legyen

t_n(x)=2^1-nT_n(x), n =1, 2, .. (2.85)

t_n(x) olyan n-ed fokú polinomok, amelyeknek a főegyütthatója a_n=1 és

(2.86)

Tétel.

Az összes n-ed fokú és 1 főegyütthatójú polinomok között a

[-1,1] intervallumon vett maximum a t_n(x) polinom esetén minimális.

A f(x) függvény ortogonális felbontása.

(2.87)

Akkor

(2.88)

(2.89)

Ezeket az integrálokat a Csebisev-polinomok tulajdonságai alapján összeg alakba lehet átírni.

Ha

(2.90)

a T_n(x) polinom zérus pontjai, akkor

(2.91)

ha i≠j.

(2.92)

ha i=j≠0,

(2.93)

ha i=j=0,

Innen

(2.94)

(2.95)

Példa 2.5

A következő általános képlet alapján:

(2.96)

(ahol a J_n(x) – első rendű Besszel-függvény (n fokú)),

így adhatjuk meg a sin x függvény közelítését a Csebisev-polinomok által:

sin(πx/2) =1.5707963x – 0.646336x³ + 0.079688475 x⁵ – 0.0046722203 x⁷ +0.000150817 x⁹

A közelítés hiba-becslése:

Példa 2.6

a₀ =0.9999998 a₁ =1.0000000 a₂ =0.5000063

a₃ =0.1666674 a₄ =0.0416350 a₅ =0.0083298

a₆ =0.0014393 a₇ =0.0002040

Példa 2.7

a₁ =0.999981028 a₂ = –0.499470150 a₃ =0.338233122

a₄ = –0.225873284 a₅ =0.134639267 a₆ = –0.055119959

a₇ =0.010757369

A Maple alkalmzása a Csebisev-polinomok előállítására:

> with(orthopoly);

[G, H, L, P, T, U]

> T(2, x);

2x² – 1

> T(3, x);

4x³ – 3x

> T(4, x);

8x⁴ – 8x² +1

> T(5, x);

16x⁵ – 20x³ +5x

> T(6, x);

32x⁶ – 48x⁴ +18x² –1

> T(7, x);

64x⁷ – 112x⁵ +56x³ –7x

> T(8, x);

128x⁸ – 256x⁶ +160x⁴ –32 x² +1

> T(9, x);

256x⁹ –576x⁷ +432x⁵ –120 x³ +9x

> T(10, x);

512x¹⁰ – 1280x⁸ +1120x⁶ –400 x⁴ +50 x² – 1

A Csebisev-függvények grafikonja:

> plot([T(2, x), T(3, x), T(5, x)], x=–1, ..1, y=–1, ..1);

3).A Legendre-polinomok P_n(x).

Ezeket a polinomokat is gyakran alkalmazzák a függvények közelítésére.

A Legendre-polinomokat úgy határozhatjuk meg, mint a

(1 – x²)y′′(x) – 2xy′(x) + n(n+1)y(x) = 0 (2.97)

differenciálegyenlet megoldását (n – egész, pozitív).

Az n -edik Legendre-polinom képlete:

(2.98)

A P_n(x) polinomok értékei a 0,1,-1 pontokban:

P_n(1) =1, P_n(–1) = (–1)ⁿ,

(2.99)

A Legendre-polinomok konkrét n esetén:

P₀(x) =1

P₁(x) =x

P₂(x) =(3x² – 1)/2

P₃(x) =(5x³ – 3x)/2

P₄(x) =(35x⁴ – 30 x²+3)/8

P₅(x) =(63x⁵ – 70 x³+15x)/8

P₆(x) =(321x⁶ – 315 x⁴+105 x²-5)/16 (2.100)

A Legendre-polinomok tulajdonságai.

(2.101)

(n+1) P_n+1(x) = (2n+1)x P_n(x) – n P_n-1(x) (2.102)

(2.103)

(2.104)

ha m≠n

(2.105)