2.3. Függvények legkisebb négyzetes közelítése

A függvény legkisebb négyzetes közelítése esetén természetes a következő norma alkalmazása:

(2.49)

ahol a ω(x)>0 – súlyfüggvény.

Diszkrét probléma.

Amikor a függvény értékei csak bizonyos pontokban adottak, akkor a (2.49) norma helyet

(2.50)

normát alkalmazunk, ahol

a≤x₁< x₂< … < x_m≤b

Tétel 2.1.

Adott és legyen

lineárisan független függvény rendszer. Akkor létezik pontosan egy legjobban közelítő függvény

(2.51)

amelyre igaz, hogy

(2.52)

Diszkrét probléma esetben hasonló tétel bizonyítható.

A legjobb approximációs (közelítési) probléma akkor van megoldva, ha megállapítottuk a q_k együtthatókat a

(2.53)

feltétel alapján. Ez azt jelenti, hogy kell meghatározni a

(2.54)

függvény egyetlen minimumát, és ami a következő

(2.55)

egyenletrendszer megoldásának felel meg.

Akkor:

(2.56)

Innen

(2.57)

Bevezetjük a skalár-szorzatot:

(2.58)

Akkor a (2.57) egyenletrendszert így alakíthatjuk át:

(2.59)

A Gram-mátrix:

(2.60)

alkalmazásával a (2.59) egyenletrendszert a következő képen írhatjuk le:

(2.61)

ahol

Definíció.

A függvény-rendszer ortogonális, ha

i=1, 2, 3…, n (2.62)

A függvény-rendszer ortonormált, ha a (2.62) feltételek kívül még a

(2.63)

feltételek is teljesülnek.

Ha a ortonormált rendszer, akkor a Gram-mátrix egységmátrix lesz, és egyszerűbb lesz a q_k együtthatók meghatározása:

i=1, 2, 3…, n (2.64)

Ezek alapján megkapjuk a legjobb approximációs függvény alakját:

(2.65)

A (2.65) képlet kifejezi a f(x) függvény Fouier-sor első n tagját.

A gyakorlatban több ortonormált függvény-rendszert alkalmaznak.

A legkisebb négyzetek konkrét alkalmazásairól lásd a 9. Fejezetben.