2.Függvények közelítése és kiértékelése

2.1. Polinomok kiértékelése

2.2. Transzcendens függvények közelítése és kiértékelése

2.3. Függvények legkisebb négyzetes közelítése

2.4. Nevezetes ortonormált függvény-rendszerek

2.5. Implicit függvények kiértékelése

2.1. Polinomok kiértékelése

A polinomok

p(x) = a₀ xⁿ+ a₁ x^n-1+ … a_n-1 x + a_n (2.1)

alkotják a függvények legegyszerűbb osztályát, és a következő formula alapján könnyen kiértékelődhetők.

Horner-féle elrendezés

Horner W. (1786-1837) - angol matematikus.

Átalakítjuk a (2.1) képletet

p(x) = (a₀ x^n-1+ a₁ x^n-2+ … a_n-1) x + a_n =

= ((a₀ x^n-2+ a₁ x^n-3+ … a_n-2) x + a_n-1)x + a_n= … =

= (… (a₀ x+ a₁) x+ … a_n-2) x + a_n-1)x + a_n (2.2)

Akkor a (2.2) alapján a p(x) kiértékelése a következő algoritmus szerint történik:

s=a₀

s=s·x+a₁

s=s·x+a₂

..............

s=s·x+a_n (2.3)

ami egy ciklusban könnyen kiszámítható:

s=a₀

s=s·x+a_{k, k=1, 2, …, n}                                (2.4)

A (2.4) algoritmusnak az előnye, hogy a polinom kiértékelésére csak n szorzás szükséges.

Példa 2.1

Számítsuk ki a

p(x) =x⁷ – 2x⁶+ x⁵ – 3x⁴+4x³ – x²+6x – 1

értékét a –1.5 pontban.

p(–1.5)= –88.3985

2.2. Transzcendens függvények közelítése és kiértékelése

Mint ismeretes, a matematikai műveletek közül a számítógépek csak a négy alapvető aritmetikai műveletet képesek végrehajtani. Ezért a transzcendens függvényeket csak numerikus módszerekkel lehet kiértékelni. Ezek a módszerek azon az elven alapszanak, hogy a f(x) transzcendens függvényt egy olyan p(x) függvénnyel (leggyakrabban polinommal)

f(x)≈ p(x) (2.5)

közelítjük, melynek a kiértékelése nem okoz problémát. A közelítések gyakran a deriváltok alkalmazásával történnek, mivel azok fontos információt tartalmaznak a függvényről. Mivel

(2.6)

vagy

akkor

f(x+h)≈ f(x) +h f′(x)

vagy egy másik alakban:

f(x)≈ f(x₀) + f′( x₀)(x – x₀₎ (2.7)

Ha a f(x₀) és f′(x₀) értékeit könnyen tudjuk kiszámítani, akkor a (2.7) alapján kiszámíthatjuk a f(x) függvényt értékét.

Például, legyen f(x)=x^a, x₀=1. Akkor f(1)=1,

f′(x) =ax^a-1, f′(x) =a.

Ha x=1+Δ, akkor (1+Δ)^a≈1+a Δ

Példa 2.2

Taylor-sor alkalmazása

Ha a függvény magasabb rendű deriváltjai is léteznek, akkor szerkeszthetünk Taylor-sort

(2.8)

a Taylor-formulát maradéktaggal így írhatjuk le:

(2.9)

ahol

(2.10)

0< ζ(x,n)<1

a Lagrange-féle maradéktag.

Mivel a Taylor-sor összegzésének az eredménye nem mindig egyenlő a f(x) függvény értékével, minden konkrét esetben ellenőrizni kell azt, hogy

(2.11)

Maclaurin-formula

A Taylor-formulából x₀=0 esetén Maclaurin-formulát kapunk:

(2.12)

(2.13)

f(x)≈p(x)

(2.14)

A (2.12)-(2.14) képletek alapján több elemi transzcendens függvényt lehet közelíteni. A közelítés hiba-becslését a

(2.15)

formula alapján lehet megadni.

Néhány konkrét függvény elemzése.

a). Exponenciális függvény

y=e^x

(2.16)

(2.17)

(2.18)

u₀=1, S₀=1, S_k=S_k-1+u_k (2.19)

Ha 0<2|x|≤n, és |x|≤n/2

akkor

|R_n(x)|< |u_n| (2.20)

Ezt az összegzést addig folytatjuk, amíg nem teljesül a

|u_n|<ε (2.21)

feltétel.

Az összegzés iterációs algoritmussal történik, mely a (2.18),(2.19) és (2.21) képleteken alapszik.

A |x|értékének növekedésével a Maclaurin-formula maradéktagja is növekszik, és ezért nagy |x|esetén ezt az algoritmust nem ajánlatos alkalmazni. Ha lehetőség van, akkor a függvények tulajdonsága alapján csökkenthetjük az |x|értékét.

Például, a e^x függvény esetén ez könnyen megoldható a következő felbontással:

x=E(x)+q, 0≤q<1 (2.22)

e^x= e^E(x)· e^q (2.23)

Mivel 0≤q<1, akkor a Maclaurin-sor gyorsan konvergál, és a hibabecslés értéke:

0≤R_n(q)<qⁿ⁺¹/(n!·n) (2.24)

Példa 2.3

Számítsuk ki a értékét 10^-5 pontossággal.

=

u₀=1, u_k= u_k-1/(2k), k=1, 2, …, n

k	uk
0	1
1	0,5
2	0,125
3	0,0208333
4	0,0026042
5	0,0002604
6	0,0000217
7	0,0000016
S=	1,6487212

Az eredmény: =1,64872

b). Trigonometrikus függvények

y=sinx

(2.25)

(2.26)

u₁=x, u_k+1= –x² u_k/(2k·(2k+1))

(2.27)

k=1, 2, …, n-1

s=x₁, s=s+u_k (2.28)

| u_n|<ε

(2.29)

|R_n(x)|≤ |x|²ⁿ⁺¹/(2n+1)! =|u_n+1| (2.30)

Ebben az esetben az iterációs algoritmust a (2.27)-(2.29) képletek alapján szerkesztjük.

y=cosx

(2.31)

(2.32)

u₁=1, u_k+1= –x² u_k/((2k-1)·2k) (2.33)

k=1, 2, …, n-1

Mivel a sinx és a cosx függvények periodikusak, ezért ezeket a képleteket elegendő csak a intervallumon alkalmazni. Az elérhető pontosság szempontjából ez a lehetőség lényeges, mivel a x növekedésével gyorsan növekszik a hiba-becslés értéke is.

Példa 2.4

Számítsuk ki a sin 23º 54′ értékét, ε=10^-4

x=0.41714 radián.

u₁=x=0.41714

u₂=–x²u₁/(2·3)= –0.01210

u₃=x²u₂/(4·5)= 0.00011

u₄=–x²u₃/(6·7)= –0.0000

sin 23º 54′=0,40515

c). Hiperbolikus függvények

Hiperbolikus szinusz

y=shx=(e^x- e^-x)/2; y=chx=(e^x+ e^-x)/2; (2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

ha n≥|x|, akkor

R_n< |u_n|/3 (2.38)

Hiperbolikus koszinusz

(2.39)

(2.40)

(2.41)

ha n≥|x,|, akkor

R_n<2 |u_n|/3 (2.42)

d) Logaritmikus függvény

Levezetjük a

y=log x

függvény Teylor-sorát.

Mivel

(2.43)

és

(2.44)

akkor

(2.45)

(2.46)

A Taylor-sor a x=1 és x= –1 pontokban:

(2.47)

(2.48)

konvergens, ha |x|≤1

A Maple alkalmazásával elemezzük a Taylor-sort a sin(x) függvény esetén.

> taylor(sin(x), x, 6);

> s:= taylor(sin(x), x, 8);

Átalakítjuk az eredményt polinommá:

> p:=convert(s, polynom);

vagy

> convert(p, float);

x – .1666666667 x³ + .008333333333 x⁵ +.0001984126984 x⁷

Kiértékeljük a polinomot a x=2 pontban:

> x :=2;

x :=2

>evalf(p, x);

.91

Ellenőrizzük az eredményt:

> sin(2.);

.909297268

> x :=4;

x :=4

>evalf(p, x);

– 1.384

Ez már egyáltalán nem jó! Ellenőrizzük az eredményt:

> sin(4.);

–.7568025953

> x :=10;

x :=10

>evalf(p, x);

–1307,460317

> x :=25;

x :=25

>evalf(p, x);

–1132213963293650793650794·10⁷

Ez az eredmény fantasztikusan rossz!!!

Szerkesztünk grafikonokat:

> x:=’x’;

x:=x

> plot([p(x), sin(x)], x=0...2*Pi );

Mint láthatjuk, ha x>π, akkor növekszik az eltérés.

A hiba grafikonja:

> plot((p(x),– sin(x)), x=0...25 );

> plot(abs(p(x),– sin(x)), x=0...25 );

Ezekből a példákból megállapítható, hogy amikor x távolodik a 0 ponttól ( Maclaurin-sor esetén), akkor lényegesen növekszik az abszolút hiba. Ez a tény sok esetben korlátozza a Taylor-formula alkalmazását.

Sokkal jobb eredményeket lehet elérni, ha a függvények ortogonális polinomokkal közelítjük.