6. fejezet - Koordináta-transzformációk (Coordinatesystem transformation)

Koordináta-transzformációról akkor beszélünk, ha a tárgypont egy új koordináta-rendszerre vonatkozó koordinátáit határozzuk meg, a régiek ismeretében. Ilyenkor tehát a vizsgált tárgy változatlan, csupán a nézőpontunkat változtatjuk meg. A grafikus objektum változatlan marad.

A legtöbb alakzat koordináta-geometriai vizsgálata egyszerűbbé válik, ha az alakzathoz képest a koordináta-rendszert alkalmasan – rendszerint valamilyen speciális helyzetben – választjuk meg. Ehhez általában az szükséges, hogy egy meglévő koordináta-rendszerről áttérjünk egy új koordináta-rendszerre.

A koordináta-transzformációt a komputergrafikában szokásos problémán keresztül ismertetjük. A tárgyakat általában a világkoordináta-rendszerben (world) adjuk meg, s innen akarunk áttérni a kamera- vagy nézetikoordináta-rendszerre (view). Minkét rendszer Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer. Tegyük fel, hogy a nézetikoordináta-rendszer bázisvektorai és origója a világkoordináta-rendszerben rendre és :

6.1. ábra. Koordináta-transzformáció

Először ismerjük a pontnak az nézeti (új) koordináta-rendszerbeli helyvektorát. Határozzuk meg a pont világ (régi) koordináta-rendszerbeli helyvektorát (lásd a 6.1. ábrán ).

aminek mátrix reprezentációja homogén koordinátákat felhasználva

Másodszor tekintsük a feladat inverzét, ami a komputergrafikában gyakoribb probléma. Ismerjük a pontnak a világ (régi) koordináta-rendszerbeli helyvektorát. Határozzuk meg a pont nézeti (új) koordináta-rendszerbeli helyvektorának komponenseit.

-nek az új koordináta-rendszerbeli komponenseire

aminek mátrix reprezentációja homogén koordinátákat felhasználva

Az előzőekhez hasonlóan felírhatjuk, hogy

ahol

A mátrix inverze könnyen előállítható, hiszen ekkor a bal-felső minormátrix ortonormált mátrix (a sorvektorai egymásra merőleges egységvektorok), tehát annak inverze egyenlő a transzponáltjával, azaz

ahol a második mátrix egy eltolás ponttranszformációját írja le, nevezetesen a kamera pozíciójának az eltolását a világkoordináta-rendszer origójába. Az első mátrix két koordináta-tengely körüli forgatást és ha az új rendszernek a sodrása is (pl.jobbsodrásúból balsodrásúvá) megváltozik, akkor koordináta-síkra való tükrözést is tartalmaz.