1. Hibabecslés

 

1.1  Hibák osztályozása

1.2  Abszolút hiba

1.3  Relatív hiba

1.4  Aritmetikai műveletek abszolút hibái

1.5  Aritmetikai műveletek relatív hibái

1.6  Függvények hibabecslése

 

1.1.Hibák osztályozása

1. Kiküszöbölhetetlen hibák. Első sorban a bemenő (input) adatok hibáit soroljuk ide.

2. Matematikai modell hibája. Mivel minden modell csak közelíti a valós, modellezett objektumot, ezért a modell mindig hibát tartalmaz az objektum leírása szempontjából.

3. Módszer-hiba. Ez a hiba a kiválasztott numerikus módszertől függ.

4. A számítógép alkalmazása kapcsán keletkezett hibák (első sorban, kerekítési hibák).

A gyakorlati problémák esetén figyelembe kell venni mind a négy hiba típus lehetőségét.

Egy probléma megoldása kapcsán különböző hiba-elemzéseket szoktak végrehajtani.

1. Direkt elemzés. Ismerjük a bemenő adatok hibáit. Meg kell állapítani az eredmény hibáját. Ez az elemzés a leggyakoribb.

2. Inverz elemzés. Adva van az eredmény megengedett hibája (vagy az elvárt pontosság). Meg kell állapítani a bemenő adatok olyan megengedett hibáit, hogy az eredmény megfelelő pontosságú legyen.

3. A bemenő adatok pontosságának egyeztetése. Például, ha az egyik adat hibája nagy, akkor nincs értelme törekedni a többi adatot nagyobb pontosságára.

4. Az adatok stabilitásának problémája (hibaterjedés elemzése).

 

1.2 Abszolút hiba

Legyen a0 az adat pontos értéke, és a – a a0 közelítő értéke, akkor aa0  lesz  az adat közelítő érétkének a hibája. A közelítő érték hiba-becslését (hibakorlátját) Δa-val jelöljük:

|aa0|≤  Δa                                                                        (1.1)

 

Példa 1.1

Számítsuk ki egy téglalap területét:

a=5.43m,   b=3.82m

                        Δa= Δb=0.01

                        S=ab = 20.7426m2

                               (a+0.01) (b+0.01) = 20.8352 m2

                               (a–0.01) (b–0.01) = 20.6502 m2

ΔS= 0.093

|S–S0|≤  0.0926              

S≈ 20.74

 

1.3. Relatív hiba

Az a0 adat az a közelítő értékének a relatív hibája:

MATH

Mivel általános esetben a a0 értéke ismeretlen, a relatív hibát így fogjuk meghatározni:

MATH                                                      (1.2)

 

A relatív hibát gyakran százalékban szokták megadni.

Visszatérve az előző példához, kiszámítjuk a relatív hibát:

S≈ 20.7426,                ΔS= 0.0926

MATH

 

Egy adat relatív hibabecslése és a biztos számjegyeinek számának kapcsolata a következő (közelítőleg):

Ha δ=10 % akkor az adat egy biztos számjegyet tartalmaz,

ha δ=1% akkor az adat két biztos számjegyet tartalmaz,

ha δ=0,1 % akkor az adat három biztos számjegyet tartalmaz, ....

A matematikai táblázatokban a függvények értékei úgy vannak kerekítve, hogy a táblázat csak biztos számjegyeket tartalmazzon, és egy adat abszolút hibája nem haladja meg az utolsó megadott számjegy-egység értékének a felét.

 

1.4 Aritmetikai műveletek abszolút hibái

Az összeg abszolút hibája

Az adatok pontos értékei legyen a0, b0, a, b –pedig az adatok közelítő értékei, és

|aa0|≤  Δa                         |b–b0|≤  Δb         

Akkor az a+b összeg hiba-becslése:

Δa+b = Δa + Δb                                    (1.3)

A többi aritmetikai művelet esetén hasonló képleteket kaphatunk.

A kivonás  a-b abszolút hibája:

Δa-b = Δa Δb                                                  (1.4)

 

A szorzat ab abszolút hibája:

Δab ≈ |a|Δb + |b|Δb                                                      (1.5)

Az osztás a/b abszolút hibája:

MATH                                                       (1.6)

Ha a b értéke közzel van a nullához, akkor az osztás abszolút hibája nagyon nagy lehet.

Több adat összeadása esetén

MATH                                                   (1.7)

az összeg hiba-becslése:

MATH                                        (1.8)

A (1.8) hibabecslés túlzott, mivel értéke sokkal nagyabb lehet a reális eltéréstől. Ha n>10 , akkor célszerű alkalmazni a

statisztikai hiba-becslést (Csebotárjov-féle szabály):

MATH                                                         (1.9)

amely sokkal pontosabb eredményt ad, mint a (1.8) képlet.

A (1.9) képletben azt feltételezzük, hogy a hibák nagyságrendje körülbelül azonos. Ha az egyik adat abszolút hibája lényegesen nagyobb a többi abszolút hibánál,

Δ1 >> Δk ,   k>1                                             (1.10)

akkor az összeg abszolút hibáját egyszerűbben lehet megállapítani:

ΔS Δ1                                                          (1.11)

 

Példa 1.2

     345.4                               abszolút hiba: 0.05

     235.2                                                       0.05

      11.75                                                        0.005

      9.27                                                          0.005

      0.35                                                          0.005

      0.18                                                          0.005

      0.08                                                          0.005

      0.02                                                          0.005

      0.00                                                           0.005

 

          S=602.25                     ΔS=0.05+0.05=0.1

 

1.5 Aritmetikai műveletek relatív hibái

A a+b összeg relatív hibája:

MATH                                                               (1.12)

Több adat esetén:

MATH                                                                               (1.13)

 

MATH                                                                           (1.14)

Kivonás a-b relatív hibája:

MATH                                  (1.15)

 

 

Megjegyzés.  Ha az  a és b számok értékei közel vannak egymáshoz, akkor a kivonás relatív hibája nagyon nagy lehet! Ezért, ha van lehetőség, a kivonás műveletet ki kell küszöbölni az algoritmusból (a kifejezések átalakításával)!

Szorzás ab relatív hibája:

δab = δa + δb                                                                           (1.16)

Osztás a/b relatív hibája:

δa/b = δa + δb                                                                          (1.17)

 

Több adat esetén a szorzások és osztások

MATH,                                                                                   (1.18)

relatív hibája:

 

MATH                                                                  (1.19)

Ha n+m>10, akkor lehet a statisztikai hibabecslést alkalmazni. Feltételezve, hogy a δa, δb relatív hibák értékei azonos nagyságrendűek, akkor a következő hiba-becslést kapunk:

MATH                                                                        (1.20)

Ha az egyik szám relatív hibája lényegesen nagyobb a többi relatív hibánál:

MATH

akkor

MATH                                                                                             (1.21)

 

Példa 1.3

Számítsuk ki a

MATH

értékét, ha az adott számok mindegyik számjegye biztos.

A legnagyobb relatív hiba

                                   MATH

és

                                   δr = 1.6%

 r abszolút hibája:

 Δr =r·δr =0.221· 0.016=0.0036

 Δr <0.005

és a kerekítés után r=0.22 értéket kapunk.

 

Példa 1.4

a=1.137,         b=1.073,

 Δa = Δb = 0.011

Akkor:

c=a –b =0.064,           Δc = Δa + Δb = 0.022

                       MATH

Ez az eredmény egy biztos számjegyet sem tartalmaz!

 

Példa 1.5

Számítsuk ki    

d=1 – cos1º                                                               (1.22)

értékét.

Mivel

 cos1º=0.9998,                        Δcos = 0.00005,

d=0.0002,       Δd = 0.00005,

akkor

MATH

A hiba-becslés 25%.

Ezt a δd hiba-becslést csökkenthetjük, ha átalakítjuk a (1.22) képletet. Mivel

 1 – cos2x =2sin2x

akkor:

d=1 – cos1º=2 sin20º30´ =2g2,                      g= sin 0º30´

és

 g= 0.0087,     Δg =0.00005

d=2g2=0.000151.

      MATH    

(0.58%)

δd =2δg =0.016

 Δd =d·δd=0.000151·0.0116 = 0.0000018

 

Láthatjuk, hogy az átalakításokkal lényegesen csökkentettük az eredmény relatív hibáját.

 

Példa 1.6

Számítsuk ki a kör területét, ha annak az átmérője:

d=0.842m       és         Δd=1mm         

S=3.1416/4· 0.842 = 0.5568m2

            δdd=2 δd = 0.0024,                              0.24%

δS= δπ/4 + δdd = 0.0024

ΔS =S δS=0.0014

                        S=0.557m2

 

1.6 Függvények hibabecslése

Legyen y=f(x)  kétszer differenciáltható függvény. Akkor a másodrendű Taylor-felbontásból:

f(a0)=f(a)+f´(a)(a0-a)+f´´(ζ) (a0-a)2/2                         (1.23)

a – Δa < ζ < a + Δa

és

|f(a0)-f(a)|≤|f´(a)| Δa +M/2 (Δa)2

ahol

M=max|f´(ζ)|

Ez alapján a függvényérték abszolút hiba-becslése:

 Δf(a)=|f´(a)| Δa                        (1.24)

Megállapíthatjuk a függvényérték relatív hiba-becslését is:

MATH                             (1.25)

MATH                                                                                     (1.26)

MATH                                                                                             (1.27)

A (1.27) képlet alapján megállapíthatjuk, hogy a független változónak az eltérése milyen mértékben növeli a függvény értékének az eltérését. Ezt a mennyiséget a pontbeli kondíciószámának nevezzük:

MATH                                                                                  (1.28)

Akkor a (1.26) alapján:

                                   δf(a)=cond(f, a) δa       

Ha a cond(f, x)  értéke nagy, akkor az lényegesen növeli a függvény relatív hibáját a független változó relatív hibájához képest. Megjegyezzük, hogy egy a függvény kondíciószáma  cond(f, x)  függ a x változótól is, és általános esetben a függvényérték hibája változhat pontokként.

Azt mondjuk, hogy a függvény rosszul kondicionált, vagy numerikusan instabil, ha nagy annak nagy a kondíciószáma.

A lineáris algebra problémák elemzésének is fontos eleme a kondíciószám fogalma.  

Ha f(x)>0, akkor:

MATH                                                            (1.29)

 

Konkrét függvények hibabecslései

Hatványozás.

y=xa                                                               (1.30)

Δy=a xa-1Δx                                         (1.31)

δy=|a| δx                                                         (1.32)

 

Exponenciális függvény.

y=ax                       (a>0)                                                (1.33)

 Δy=ax ·lna·Δx                                                (1.34)

 δy= Δx lna                                                                (1.35)

Ha y=ex, akkor

 δy= Δx                                                                       (1.36)

 

Logaritmikus függvény.

y=lnx                                                 (1.37)

 Δy=·Δx/x= δx                                          (1.38)

a y=lgx esetén:

 Δy==0.4343 δx                                                                (1.39)

 

Trigonometrikus függvények.

y=sinx,           Δsinx=|cosx|Δx Δx                                    (1.40)

y=cosx,           Δcosx=|sinx|Δx Δx                                     (1.41)

y=tgx,  Δtgx=(1+tg2x)Δx Δx               (1.42)

y=ctgx,            Δctgx=(1+ctg2x)ΔxΔx                        (1.43)

 

Példa 1.7

Számítsuk ki a y=sinx  abszolút hibáját, ha  x=25º20´ és Δx =1´

Mivel  1´=0.000291 radián,  akkor

            Δsinx=|cosx|Δx=cos 25º20´·0.000291=0.00026

 

Inverz hibabecslés elemzése

Adva van a y=f(x) függvény maximális megengedett abszolút hibája Δy. Meg kell állapítani, hogy milyen lehet a független változó x  abszolút hibája  Δx, hogy a függvény abszolút hibája ne haladja meg az adott   Δy  értéket.

Ha f′ (x) ≠0, akkor a (1.24) alapján:

Δx= Δy/|f′ (x)|                                                             (1.44)